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后面将继续更新数论。
定理：给定数
a
,
b
∈
Z
a,b\in \mathbb{Z}
a,b∈Z,存在唯一的一对整数
k
,
r
k,r
k,r满足关系:
b
=
a
k
+
r
,
0
≤
r
<
∣
a
∣
b=ak+r,0\le r < |a|
b=ak+r,0≤r<∣a∣
r
r
r成为余数。
a
∣
b
a|b
a∣b的充要条件是
r
=
0
r=0
r=0。
充分性：
r
=
0
r=0
r=0，则有
b
=
a
k
b=ak
b=ak，所以
a
∣
b
a|b
a∣b。
必要性：
a
∣
b
a|b
a∣b，所以
b
=
c
a
b=ca
b=ca，又有
b
=
a
k
+
r
b=ak+r
b=ak+r，所以
r
=
a
(
c
−
k
)
r=a(c-k)
r=a(c−k)。因为
0
≤
r
<
∣
a
∣
0\le r < |a|
0≤r<∣a∣，所以
r
=
0
r=0
r=0。
示例：
10
,
5
:
10
=
5
∗
2
+
0
10,5:10=5*2+0
10,5:10=5∗2+0
11
,
3
:
11
=
3
∗
3
+
2
11,3:11=3*3+2
11,3:11=3∗3+2
余数需要满足
0
≤
r
<
∣
a
∣
0\le r < |a|
0≤r<∣a∣。
